拋物線概念建構(gòu)學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)

建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)主體的感知，認(rèn)為數(shù)學(xué)知識不能從一個(gè)人復(fù)制到另一個(gè)，而是個(gè)體在原來已有的知識結(jié)構(gòu)以及經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過學(xué)習(xí)主體的感知、探索、交流、消化，使之適合自已的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能實(shí)現(xiàn)對知識的理解和掌握。所以教師在課堂教學(xué)中是一個(gè)指導(dǎo)者、幫助者，而學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體，教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，讓學(xué)生通過協(xié)作、交流、探索，對知識進(jìn)行意義建構(gòu)。本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)是在建構(gòu)主義理論指導(dǎo)下，利用學(xué)生對橢圓和雙曲線理解和掌握，把靜態(tài)的曲線動(dòng)態(tài)化，通過教師、學(xué)生的會(huì)話發(fā)現(xiàn)了兩種曲線的內(nèi)在的聯(lián)系，探索出了拋物線的軌跡，從而達(dá)到了拋物線概念的意義建構(gòu)。

   教學(xué)過程：

T：前面我們研究了橢圓和雙曲線，不僅知道了兩種曲線的第一定義，而且知道了它們的 

    第二定義，請大家回憶一下兩種曲線的第二定義。

S1：橢圓和雙曲線的第二定義是平面上到定點(diǎn)與到定直線的距離比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)      常數(shù)在（0，1）時(shí)點(diǎn)的軌跡是橢圓，當(dāng)常數(shù)在（1， ）時(shí)點(diǎn)的軌跡是雙曲線。

T：很好,這個(gè)常數(shù)實(shí)際上就是曲線的離心率e,我們以橢圓為例，e的不同，橢圓的形狀顯然也不一樣，那么e的變化對曲線究竟產(chǎn)生什么樣的影響呢？按照橢圓的第二定義，我們先來看特殊情況。已知直線m與直線l垂直，垂足為H，F(xiàn)是直線m上一定點(diǎn)，如圖

    問直線m上到定點(diǎn)F與到定直線l的距離比為 的點(diǎn)在什么位置？

S2：是線段FH的靠近F的三等分點(diǎn)，設(shè)為A1

T：很好，在直線m 上還有沒有這樣的點(diǎn)？

S2：還有一個(gè)，設(shè)為A2，并且滿足FH=A2F.

評注：把抽象的問題具體化，使學(xué)生能在已有的知識上，對知識進(jìn)行重新梳理，也是學(xué)生對已學(xué)知識的再建構(gòu)。

T：直線外當(dāng)然也有，這時(shí)平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡為橢圓，請大家思考，當(dāng)e 0時(shí)和e 1

時(shí)，點(diǎn)A1，A2的位置如何變化？

S3：當(dāng)e 0時(shí)，點(diǎn)A1逐漸向點(diǎn)F靠近，點(diǎn)A2也向點(diǎn)F靠近，而且點(diǎn)A1，A2即為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)e 1時(shí)，A1，A2逐漸遠(yuǎn)離點(diǎn)F。

T：非常好，不僅知道了點(diǎn)A1，A2的位置變化情況，而且發(fā)現(xiàn)了點(diǎn)A1，A2實(shí)際就是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，那么此時(shí)對應(yīng)的橢圓的形狀如何變化呢？

S3：當(dāng)e 0時(shí)點(diǎn)A1，A2都向點(diǎn)F靠近，此時(shí)對應(yīng)的橢圓越來越圓，當(dāng)e 1時(shí)，點(diǎn)A1，A2逐漸遠(yuǎn)離點(diǎn)F，此時(shí)對應(yīng)的橢圓越來越扁。

T：非常好，通過研究特殊點(diǎn)的變化，我們發(fā)現(xiàn)了e的變化對橢圓的形狀產(chǎn)生了什么樣的影響，下面我們把這種變化用幾何畫板演示給大家看。

通過對已有知識的再認(rèn)識、再研究，學(xué)生對已有知識進(jìn)一步再理解、再建構(gòu)，并且會(huì)產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)，同時(shí)由對特殊點(diǎn)的討論，過度到一般情況，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

    請大家再思考，A1能否到達(dá)線段FH的中點(diǎn)M?

S3：不可能，因?yàn)闄E圓的離心率e (0,1)。

T：很好！當(dāng)點(diǎn)A1跑到點(diǎn)M的左邊時(shí)，比值 的取值范圍是什么？

S3： ＞1，對應(yīng)的曲線不再是橢圓，而是雙曲線了！

T：非常好，說明大家對兩種曲線的第二定義理解的比較好�，F(xiàn)在我們來計(jì)算在直線m上

    滿足到定點(diǎn)F與到定直線l的距離比為2的點(diǎn)在什么位置？

S4：在線段FH上靠近H的那個(gè)三等分點(diǎn)，還有一個(gè)在點(diǎn)H的左邊，并且滿足B2H=FH

T：很好，當(dāng)然在直線l外滿足條件的點(diǎn)也有，這時(shí)對應(yīng)的曲線為雙曲線，下面請大家來研    究、探索e的變化對雙曲線的形狀產(chǎn)生怎樣的影響？

  （有了對橢圓的研究，學(xué)生可以通過相互幫助、協(xié)作、交流很容易解決的變化對雙曲線 

    的形狀產(chǎn)生的影響）

S4：當(dāng)e 1時(shí)，B1逐漸靠近點(diǎn)M，B2逐漸向左趨向于無窮遠(yuǎn)，雙曲線的張口越來越小； 

   當(dāng)e 時(shí)，點(diǎn)B1、B2都向點(diǎn)H逐漸靠近，此時(shí)對應(yīng)的雙曲線的張口越來越大。

T：非常好，對于橢圓的形狀大家用扁和圓來形容，而對于雙曲線大家用張口大小來描述，請問大家這兩種曲線各有什么樣的特征？

S4：雙曲線有漸近線，而橢圓沒有。

S4：橢圓在直線的一邊，而雙曲線有兩支。

S4：橢圓是封閉的，雙曲線是張開的。

T：很好，大家對兩種曲線有了較為深刻的理解。下面利用幾何畫板把這種變化過程演示給大家看

   在線段HF上的兩個(gè)點(diǎn)A1、B1，大家發(fā)現(xiàn)它們都不可能移動(dòng)到點(diǎn)M，為什么？

S5：因?yàn)闄E圓的離心率e （0，1），雙曲線的離心率 e （1， ），而點(diǎn)M滿足 =1

T：顯然點(diǎn)M非常特殊，不可能在某一個(gè)橢圓或者雙曲線上，那么直線上還有沒有滿足到定點(diǎn) F與到定直線L的距離的比為1的點(diǎn)的呢？，直線L外還有沒有？

S5：直線L上沒有了，而直線外還有無數(shù)個(gè)點(diǎn)。